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[中學] 請問一個化簡為常數函數
如題, 我觀察到對任何正整數p, 任何正整數N>=(p+1), 都會有:
N-1 nπ
Σ (cos(x-──))^(2p) = constant, denpending on p and N
n=0 N
如圖 https://www.desmos.com/calculator/var1czvemp
我想知道這個常數是什麼
自己化簡時如果把cos(x-(nπ)/N)拆成cos*cos+sin*sin, 之後光是2p次方就很頭痛
而如果把(cos(x-(nπ)/N))^(2p)寫成(1-(sin(x-(nπ)/N))^2)^p, 好像也沒啥幫助
而如果用e^ix取等比級數再取實部這招, 只能適用於p=0.5
我猜motivation應就是從p=1中, sin^2+cos^2=1 而來的
完全不知道怎麼化簡...
謝謝幫忙~
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這個問題的一般式就是 Σ_{n=0~N-1} (cos(a+nd))^q, d!=0, q正整數, a,d任意實數
我嘗試用cos^q(x) = ((1/2)*(e^(ix)+e^(-ix)))^q 然後做二項式定理
然後再用級數交換與等比級數, 最後導到:
https://www.desmos.com/calculator/horz48lm0b
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