[分析] Hermite內插演算法的證明

想請問如何證明下面wiki連結的step by step造出來的多項式確實符合內插條件 https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_interpolation#General_case -------------------------------------------------------------------------- 以下是我的觀察跟討論: 首先謝謝板友們在我問Lagrange函數極限退化那邊提供的意見 也如Vulpix所述我的極限退化就相當於Hermite內插 因此今天閱讀了Hermite內插相關資料後, 我發現: 只有告訴你怎麼找(Newton form + 相同點當成相異點取極限) 沒有告訴你怎麼證這樣找的多項式就我們要的 也就是說, 在找法上使用了不同點的內插多項式的極限退化 但是並沒有證明退化後的多項式確實會滿足條件 接著開始用實例說明, 因為Hermite內插的general case難寫, 我用二次多項式通過三個點然後極限退化成一個點舉例: 假設x_0,x_1,x_2兩兩相異, 想要找二次多項式p(x)通過(x_i,f(x_i)), i=0~2 接著用Newton form可以得到:(f[]是wiki中divided difference的記號) p(x) = f[x_0] + f[x_0,x_1]*(x-x_0) + f[x_0,x_1,x_2]*(x-x_0)*(x-x_1) 因為接著要對x_1,x_2取極限到x_0, 因此把變數x_1,x_2特別寫出令成q 即: q(x,x_1,x_2):=p(x), 然後要考慮lim_{x_1,x_2→x_0, 三者相異} q(x,x_1,x_2) 先假設這個極限存在, 令為L(x) 在f微分條件夠好的情況下, 我們可以證得: L(x) = f(x_0) + f'(x_0)*(x-x_0) + (1/2)*f''(x_0)*(x-x_0)^2 (剛好在我這個舉例就是極限退化成Taylor多項式) 問題來了: 我怎麼知道L(x)這個多項式會滿足: (1) L(x_0) =f(x_0) (2) L'(x_0) =f'(x_0) (3) L''(x_0)=f''(x_0) 當然在這個簡單的例子可以直接對L進行檢查, 也當然符合 我用這個例子跑一遍推導的用意是在於, 從剛剛的推導我們只有: (a) q(x,x_1,x_2) = p(x)且滿足p(x_0)=f(x_0) p(x_1)=f(x_1) p(x_2)=f(x_2) (b) lim_{x_1,x_2→x_0, 三者相異} q(x,x_1,x_2) = L(x) 原本我希望的是(a)+(b)就能證明出(1)~(3), 那我就不會上來問了XD 但是自己試了一下, 因為(b)對於所有x都成立, 所以我嘗試逐一代入x=x_i看極限 (順帶提一下, L(x)的收斂目前只有逐點收斂, 要證明均勻收斂才能讓x=x_1,x_2 這兩個case也可以跑極限, 不過目前先當作well-behaved) 結果不管怎樣x=x_i都是得到L(x_0) = f(x_0)而已.... ----------------------------------------------------------------- 總之, 在函數f的微分條件夠好的情況下, 不同點的多項式內插的極限退化就是Hermite內插演算法找的多項式 今天我的問題在於如何證明這個多項式會滿足我們設定的內插條件 (如果能寫出這個演算法的explict form或是遞迴式然後直接硬爆檢驗, 也歡迎!) 謝謝解惑~ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 59.102.225.191 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1691180238.A.7D3.html