Re: [閒聊] 還是看不懂三門（蒙提霍爾）問題

※ 引述《lolic (白蝙蝠巴比特)》之銘言： : https://i.imgur.com/uswIEJV.jpg

: https://i.imgur.com/AGoauMh.jpg

: 已知有三個門 : 如果你挑了a門 在知道b門為錯誤情況下 : 選c門正解機率是2/3 : 不是啊 就算知道b門是錯誤解 : 但還是a跟c在選啊 : 正解機率應該是一半一半吧 : 怎麼換c門就可以把b門加進來考慮 : 年底最後一天上午都在煩惱這問題 : 囧rz : 版上有沒有數學小老師 洽 那我們定量分析一下吧 先複習一下題目 參賽者會看見三扇門，其中一扇門的裏面有一輛汽車，選中裏面是汽車的那扇門，就可以 贏得該輛汽車，另外兩扇門裏面則都是一隻綿羊。當參賽者選定了一扇門，主持人會開啟 另一扇是綿羊的門；並問：「要不要換一扇門？」 這邊要講清楚相關事件的機率分布： 1. 三扇門有大獎的機率都是 1/3 2. 參賽者一開始選擇任意一扇門的機率都是1/3，跟大獎在哪扇門無關 (其實參賽者選門的機率分布可以隨意 這邊用1/3方便說明) 3. 如果參賽者選到大獎，主持人會任意選另外兩扇門的其中一扇打開 4. 如果參賽者沒選到大獎，主持人只會打開剩下兩扇終沒大獎的門 https://i.imgur.com/0KCY8UH.jpg 讓我們考慮一個非常明確的情況： 參賽者選了第1扇門，主持人當他的面打開了第2扇有綿羊的門， 請問此時大獎在第3扇門的機率是多少？ 我們定義以下隨機變數， W = 參賽者一開始選的門 T = 大獎位置 M = 主持人開的門 並且用數字 1,2,3 分別代表 第1扇門, 第2扇門, 第3扇門 所以黃字問題變成求 P(T=3|W=1, M=2) 的值 好囉 現在進入大家最喜愛的計算時間了！ P(T=3 | W=1, M=2) = P(W=1, M= 2| T=3) * P(T=3)/ P(W=1, M=2) (貝式定理) 1. P(T=3) = P(大獎在第3扇門) = 1/3 (easy) 2. P(W=1, M= 2| T=3) = P(W=1|T=3) P(M=2|T=3, W=1) P(W=1|T=3) = P(參賽者一開始選第1扇|大獎在第3扇門) = 1/3 (參賽者一開始選哪一扇門跟大獎在哪一扇門沒關係) P(M=2|T=3, W=1) = P(主持人打開第2扇門|大獎在第3扇，參賽者一開始選第1扇) = 1 所以 P(W=1, M= 2| T=3) = 1/3 * 1 = 1/3 3. P(W=1, M=2) = P(W=1, M=2, T=1) + P(W=1, M=2, T=3) ( P(W=1, M=2, T=2) = 0 因為不可能大獎在第2扇主持人還開第2扇) P(W=1, M=2, T=1) = P(T=1) * P(W=1|T=1) P(M=2|T=1, W=1) = 1/3 * 1/3 * 1/2 P(W=1, M=2, T=3) = P(T=3) P(W=1|T=3) P(M=2|T=3, W=1) = 1/3 * 1/3 * 1 所以 P(W=1, M=2) = P(W=1, M=2, T=1) + P(W=1, M=2, T=3) = 1/3 * 1/3 * 1/2 + 1/3 * 1/3 * 1 = 1/6 讓我們把藍字部分全部兜起來！ P(T=3 | W=1, M=2) = P(W=1, M= 2| T=3) * P(T=3)/ P(W=1, M=2) = 1/3 * 1/3 / (1/6) = 2/3 換句話說，就是 參賽者選了第1扇門，主持人當他的面打開了第2扇門， 此時大獎在第3扇門的機率是 2/3 這樣子，當然要換囉！因為不換的話中獎機率就剩下1/3了 對羊有興趣的話，記得晚上8點來看可愛羊羊角卷綿芽的四周年Live!!!! Link: https://www.youtube.com/watch?v=W6hZ1EYa37g -- 鳳雛的清楚講習 https://i.imgur.com/23pfZv9.jpg https://i.imgur.com/wD6J6li.jpg -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 98.45.195.96 (美國) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/C_Chat/M.1703834180.A.266.html