Re: [問題] 無限多的自然數跟質數誰比較多？

※ 引述《arrenwu (不是綿芽的錯)》之銘言： : 對小學生來說這個有點困難，因為小學生普遍沒什麼代數的概念 : 我比較建議擱置這問題。 : : 二、如果是對國中生說 : : 三、如果是對高中生說 : : 0.9bar = 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ...... : : = 0.9 x 1 + : : 0.9 x 0.1 + : : 0.9 x 0.01 + : : 0.9 x 0.001 + ...... : : = 0.9 x (1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 +......) : : = 0.9 x (1 / (1- 1/10 )) (無窮等比級數 懶得用sum寫) : : = 0.9 x 10/9 : : = 1 : 你對國高中生說的話其實是一樣的 : 高中數學裡面，得出無窮等比級數和 = 首項/(1-公比)， : 使用的手法就是你對國中生講的話 : : 四、如果是對比較強一點的高中生 ~ 有點數學背景的大學生 : 這間我們切入這問題的核心：什麼是0.9bar？ : 其實這問題我覺得沒有那麼trivial，因為即便到高中， : 雖然大家操作無窮等比級數幾乎都手到擒來， : 但其實大多數學生沒有好好想過那個"∞"在幹啥 : 對很多人來說，"0.9999999999999999......" 是一種感覺 : 「就是0.9 0.99 0.999 ... 0.9999999999999@#$@#$@#$@#$@ .... 一直寫下去」 : 然後就不知道該怎麼描述了 : 其實我們幫這些直覺翻譯一下，會得到下面這結果 : 定義數列 An = 0.999...99 (小數點後面n個9) : A1 = 0.9, A2 = 0.99, A3 = 0.999, ........ : : 0.9bar = lim An : n->∞ : 基於上面的描述，會得到 0.9bar = 1 : 不同意的，就叫他自己描述一下他心中的 0.9bar 是什麼樣子 : 如果對方無法定義自己心中的 0.9bar 卻還是堅持不等於1 .... : 可能是腦袋剛好打結了 : 讓他看一下角卷綿芽的直播舒緩一下吧 : https://youtu.be/l6rlIOetkwg (現正直播中) 推ThousandSnow: 我是用反證法說服自己0.9bar=1，如果等號不 成立的話會出大事 看到這句話，我想起其實在高微或是實分析有時候想要證明相等或是=0 大概會用到這個敘述: x < y+εfor all ε > 0 if and only if x≦y 而這個敘述成立的證明，的確就是反證法: (這裡用反證法) Suppose x < y+εfor all ε > 0 and x>y Then take ε= y-x > 0 Then x < y+(y-x)=x, -> <- So, x≦y (這裡不用反證法) Coversely, suppose x≦y and let ε > 0 We consider (i) x < y Then x = x+0 < y+0 < y+ε So, the relation holds when x < y (ii) x = y Then x = y+0 < y+ε So, the relation holds when x = y Since ε is arbitrary, x < y+εfor all ε > 0 如此一來就證明了這個結果 但這個結果其實我們也可以換個角度改寫: x > y-εfor all ε > 0 if and only if x≧y 成立的理由非常簡單， x > y-ε <=> y < x+ε 那這個就只是把前面的結果x,y互換而已 所以可能會常常看到像是什麼|OOXX| < ε for all ε > 0 所以得到OOXX = 0這種東西 我相信你在處理這個會發生大事的過程，大約也是有用到這個概念... 但這個必須建立在對0.999.....9(m個，m可能很大，像是1000000000000000，但是是有限) 和lim 0.9999...9(n個)能夠區分的前題下，這個論述才有意義 n->∞ 0.999.....9(m個，m可能很大)是不是1? 當然不是 但取limit(也就是在符合epsilon-delta statement下的那個L)是1 lim 0.9999...9 本來就不是在說0.9999..9(m個，m可能很大)是多少 n->∞ 因此在學極限時，不要把能在紙上寫出來的東西，當成是limit的值是很重要的 而x < y+εfor all ε > 0 if and only if x≦y 這個性質看似不直覺和奇怪，倒是常常用來處理證明定理的其中一種方法 然後原問題其實是在討論所有質數的集合和自然數的集合的cardinality 解決方法就是要認識在無窮集的cardinality相等是怎麼定的(也就是存在一個bijection) 然後去找every infinite subset of a countable infinite set is countable的證明 這樣就保證P和N之間有bijection了 這些其實你只要讀過像是 Discrete and Combinatorial Mathematics by Grimaldi 大概就知道怎麼回答這個問題，而這個也只需要大學部程度就可以了 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.47.89.139 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/C_Chat/M.1684422239.A.50C.html