[微積] 一題超級難的類微分與最佳化問題

如題，本魯剛修完臺大的 information theory 課程，期末考 3(b) 用 KKT 解最佳化 不但某個 case 的反函數沒有 closed form，而且本題只配 8 分，好這不是重點。 我最後餘下的問題是，給你一個 obj = log2(1+r+r^2+...+r^d) - log2(r)*B， 其中 d 是非負整數，且 0 <= B <= d/2 (這個上界我猜不需要)，且 r >= 0 必須滿足 1*r^1+2*r^2+3*r^3+...+d*r^d = B * (1+r+r^2+...+r^d)， 已知如果定義 f(r) := (r+2*r^2+3*r^3+...+d*r^d) / (1+r+r^2+...+r^d)， 則在 r >= 0 之下 f 嚴格遞增，言下之意 f(r)=B 有唯一解 r。 事實上，f(0) = 0，f(1) = d/2，f(inf) -> d. 那現在我想知道的是，維持一定的遊戲規則，當 B 固定，d 增加的時候，obj 會保證增加嗎？是否有反例？這個缺口補上之後，這一題的檢討才算真正完畢。 豐厚批幣款待，穴穴各位！ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.218.58 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1705417885.A.947.html