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[中學] 組合

時間
最新2023-06-15 08:05:00
留言39則留言，4人參與討論
推噓16 ( 16推0噓23→ )
證明：若二項式(7x+1)^n的展開式中至少有兩項係數相同，則n≡7 (mod8)。 觀察一些例子後發現只能式是相鄰兩項相等，就能有後面的結論。 但是一直沒有比較嚴謹一點的證明。因此，上來請教各位。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 203.64.45.128 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1686546964.A.B2C.html

39 則留言

推

a16745984, 1F
整理後發現 得n=7(mod8)時 項次是8n+7 n=0,1,2…,

→

a16745984, 2F
係數相等是因為隔壁項C(8n+7)(n) 除以 C(8n+7)(n+1

→

a16745984, 3F
) =7 至少有一相等

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a16745984, 4F
比較嚴謹的證明？指得是比較高難度的技巧嗎？

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a16745984, 5F
阿 看錯證明的方向了 題目的方向比較難證

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yhliu, 6F
想了很久仍不知如何證明非相鄰兩項，係數不可能相等

推

Starvilo, 7F
每7個數只有1個7的倍數，但每差1位就差7的因數

推

Starvilo, 8F
當我上面沒說，也許高冪次有！

推

Starvilo, 9F
相鄰的想法 參考看看

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Starvilo, 10F
https://i.imgur.com/z33HjPZ.jpg
[中學] 組合

推

Starvilo, 11F
補充（n-r1)x~x(n-r2+1)有d項

推

Starvilo, 12F
所以（n-r1)/7=r1+1=> n=8r1+7 得證

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musicbox810, 13F
可以解釋一下不等式怎麼來的嗎?

推

Starvilo, 14F
至少有7個因數的個數

→

Starvilo, 15F
7的

推

Starvilo, 16F
簡單的說分子的7次方大於等於分母的7次方，但分子

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Starvilo, 17F
的7次方要如何取？考慮每連續7數必有一數7的倍數，

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Starvilo, 18F
以此類推連續49就有49倍數

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musicbox810, 19F
第一個不等號不太懂

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musicbox810, 20F
好像懂了!我再想想看，謝謝S大

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musicbox810, 21F
第一個不等號還是不懂為何是小於等於

推

Starvilo, 22F
D為分母小於等於分子？

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musicbox810, 23F
d是r1和r2的差，要看的不是(n-r1)(n-r1-1)...的7的

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musicbox810, 24F
因數嗎?可是為何是用d/7^i的方式求7的次數?

推

Starvilo, 25F
連續乘就因為分子連續數剛好是d個，這d個至少可提

→

Starvilo, 26F
出幾個7，就除7的幂次

推

Starvilo, 27F
分子個數（n-r1)-(n-r2+1)+1=r2-r1=d

→

musicbox810, 28F
請問[/7^i]+......+1為什麼要+1?

推

Starvilo, 29F
r2 r1先天條件兩不相等

→

Starvilo, 30F
r2-r1>=1

→

musicbox810, 31F
謝謝S大花這麼多時間解釋，我再好好想一想，謝謝S大

推

Starvilo, 32F
題目兩係數相等 組合選取錯要不同啊～一個r1一個r

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Starvilo, 33F
2

→

Starvilo, 34F
錯改數

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musicbox810, 35F
是的，r1-r2>=1

推

Starvilo, 36F
我再思考應該不用加1 ，1<=d<=d/6 右邊矛盾，所以

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Starvilo, 37F
只有1可能。

推

Starvilo, 38F
我在重新研究一下！XD

推

Starvilo, 39F
配合數的幂次