[問卦] Stewart 的 sinx/x 證明是不是有問題啊?

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作者 arrenwu
時間 2020年01月15日
留言 62則留言,27人參與討論
推噓 27  ( 30推 3噓 29→ )

Stewart 的微積分課本算是在世界上被廣泛的使用。 這本課本的第七版在證明 lim sinθ/θ = 1 的時候, x->0 論述 θ <= tanθ 的過程是下面這樣 https://i.imgur.com/p8AU54S.jpg
...................... 挖靠 你直接說你畫的內接多邊形邊長跟圓的弧長接近然後爽爽比較喔? 這跟用眼睛看圖片然後直接喊 θ <= tanθ 有什麼兩樣 == -- 「怎樣啦?不行嗎?」 ~中野二乃 https://i.imgur.com/crALxjb.jpg
--
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1FMintSu: 怎麼樣啦?不行嗎! 180.177.110.61 01/15 07:18
2Fdavid3809: 講中文 文組看不懂 49.98.74.3 01/15 07:18
簡單的說就是: https://i.imgur.com/gtjFpFj.jpg
這個證明用眼睛看然後就說上面這圖裡面的綠色線條紅色弧線
3Fnewwu: 不滿是不是啦 1.167.50.138 01/15 07:19
4FDevilHotel: https://i.imgur.com/ihCVOiz.jpg223.138.126.181 01/15 07:20
5Freppoc: 不懂!為什麼角度可以跟長度比大小? 114.137.228.53 01/15 07:22
6Fcosoa69: 角度等於狐腸除雨半徑r 36.237.13.242 01/15 07:23
7FKTR5566: 其實我也蠻困惑的 看似用”看_”的方式 49.216.58.153 01/15 07:25
8FKTR5566: 建立不等式 49.216.58.153 01/15 07:25
9FKTR5566: 回rep 因為定義單位圓 半徑為1 49.216.58.153 01/15 07:27
10Fcypress626: 當θ趨近於0時 三角邊長於弧長啊 27.246.7.231 01/15 07:27
你講的是sinx/x的結果所衍生的結論,但現在這個過程是要證明這結論
11Fdata1728: https://i.imgur.com/cZifhbR.jpg 42.74.22.203 01/15 07:28
12Fcccccyoyo: 簡單到哭 36.225.123.53 01/15 07:29
13Fa94037501: 你把他展開r223.137.180.234 01/15 07:37
14FKTR5566: RS >RT>PQ那段應該就是解釋原po的提問了 49.216.58.153 01/15 07:38
他那段解釋跟用眼睛看是一樣的意思
15Fa94037501: 因該會有一堆正號ㄉ級數223.137.180.234 01/15 07:39
16FKTR5566: 他應該還有搭配前提eq.8.1.1 弧長的定義 49.216.58.153 01/15 07:42
17FKTR5566: 原po再往前翻看有沒有吧 49.216.58.153 01/15 07:42
這邊有個小問題是:一開始弧長就是用 弧度*半徑 算出來的,這本身定義了弧度量
18FKTR5566: RTS大於90度的前提應該可以簡單證明吧 49.216.58.153 01/15 07:46
19FKTR5566: 但這又回歸到RTS大於90度好像也是用看 49.216.58.153 01/15 07:46
20FKTR5566: 的? 49.216.58.153 01/15 07:46
21Fa48956312: 好險我都用翁秉仁那本 118.160.200.35 01/15 07:47
22Fykap0969: 我學到的是用三角形和扇形的面積大小證 115.43.69.121 01/15 07:48
23Fykap0969: 明 115.43.69.121 01/15 07:48
Thomas 那本是這樣證明的沒錯。不過我覺得是有些小小爭議
24Fnewwu: 他的意思應該不是比較接近 是任切兩段比較 172.58.107.157 01/15 07:51
25Fnewwu: 短 所以切無窮多段一定更短 172.58.107.157 01/15 07:51
26Fken1990710: sinx/n=6180.204.140.127 01/15 07:51
27Fa94037501: tan泰勒展開因該是正係數ㄉ級數223.137.180.234 01/15 07:51
在證明 sinx/x -> 1 之前,你沒有任何三角函數的微分結果啦 (sinx)' = cosx 這個證明會用到 sinx/x -> 1
28FKTR5566: 剛看他前一行有說明RTO小於90度了 應該也 49.216.58.153 01/15 07:52
29Fnewwu: 只是他那個任切兩段應該是用看的 172.58.107.157 01/15 07:52
30FKTR5566: 還好 不過用面積證明還是比較直觀點 49.216.58.153 01/15 07:52
31FKTR5566: 應該不是說弧長用弧度*半徑算出來的 而是 49.216.58.153 01/15 08:02
32FKTR5566: 弧度就是由弧長與半徑的比值所定義的 再 49.216.58.153 01/15 08:02
33FKTR5566: 由此定義反推不同弧度下的弧長 49.216.58.153 01/15 08:02
34Fdimw: 初等微積分大概就是這樣 要嚴謹的去念分析 49.215.194.188 01/15 08:12
35Fcmotpetb: 嚴謹程度是相對的 那課本認為讀大一微積 1.162.201.183 01/15 08:18
36Fcmotpetb: 分的你只能學到這程度 就給你這證明 1.162.201.183 01/15 08:19
37Fa94037501: 把弧長當成無限個點直線連起來223.137.180.234 01/15 08:21
38Fa94037501: 從圓形拉到點上在到就對變223.137.180.234 01/15 08:21
39Fa94037501: 對變每段長度都會比弧上ㄉ直線長223.137.180.234 01/15 08:22
40Fkober5566: 作業自己寫 59.125.249.41 01/15 08:23
41Fweselyong: 就這樣教,但是考試不能這樣寫 1.162.127.159 01/15 08:24
42FMewt: 不只是接近,線段長和的極限是曲線長的定義 42.72.109.27 01/15 08:30
沒啦 我一開始就知道他的證明是對的XD 這篇只是在靠北 哪可能一個錯誤的證明印個幾千萬本到處發 這篇靠北的是大一微積分教這段的時候其實並沒有強調「長度的定義」
43FmeRscliche: 要真正的證明看高微吧!昨天看到 Sala 101.136.139.1 01/15 08:35
44FmeRscliche: s(微積分)在Appendix證明 EVT 的bou 101.136.139.1 01/15 08:35
45FmeRscliche: ndness根本錯的,吐血 101.136.139.1 01/15 08:35
46FMewt: 用扇型面積公式也是,應該要問的是在那個時 42.72.109.27 01/15 08:38
47FMewt: 間點我們如何有扇形面積公式 42.72.109.27 01/15 08:38
這就是我說的Thomas那做法的爭議。因為那等於你已經知道圓面積是 πr^2了
48Fg70245: 比角度那邊不是推論長度是變長的,因此可223.136.125.129 01/15 08:39
49Fg70245: 以證明223.136.125.129 01/15 08:39
50FmeRscliche: 這題的話沒問題吧?相似三角形,大的 101.136.139.1 01/15 08:41
51FmeRscliche: 三角形線段比較長。鈍角三角形的最長 101.136.139.1 01/15 08:42
52FmeRscliche: 邊大於其他任一邊。 101.136.139.1 01/15 08:42
上面貼的證明沒有問題啊 ※ 編輯: arrenwu (71.198.27.180 美國), 01/15/2020 08:43:22
53FmeRscliche: 沒長度的定義喔,也是啦 101.136.139.1 01/15 08:47
54Fmorrislek: 這應該顛倒看,就算弦長切到無限小,三223.137.107.100 01/15 08:49
55Fmorrislek: 角型的邊還是在圓周的外面,就可以證明223.137.107.100 01/15 08:49
56Fmorrislek: 不管什麼時候,三角形的邊永遠大於弦長223.137.107.100 01/15 08:49
57Fmorrislek: ......我文組223.137.107.100 01/15 08:49
58Fcibomeow: 我是用第八版的 不知道是不是也一樣 1.200.61.16 01/15 09:35
59Fsaobing: 切到無限小這個給過 114.37.81.175 01/15 09:57
60Fyork13468: 幫 42.76.74.24 01/15 10:36
61Falfiema: 幫助你記憶而已 36.236.34.157 01/15 10:51
62Filsr: 用眼看沒錯呀,綠比較長 42.75.88.124 01/15 14:31

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