[討論] 民調統計之亂---最終章

小弟看到版上很多人對民調統計很有興趣, 剛好這幾天我有一點粗淺的研究成果, 提出來和大家分享一下. 如果有錯還請不要見怪. 先講結論: 1. 如果沒有每一份民調原始數據, 無從判斷是3:3或是5:1, 2. 國民黨版本 如果在某一份民調中, 柯侯和侯柯的正相關性r高達0.9, <-這個r值每份民調都不一樣 那麼民調之中柯侯只要領先侯柯1.34%, 統計上就代表柯侯顯著勝過侯柯 3. 在民眾黨版本中 如果在某一份民調中, (柯侯-賴蕭) 與 (侯柯-賴蕭)的正相關性r高達0.9, 這個r值每份民調都不一樣 那麼民調之中(柯侯-賴蕭)只要領先(侯柯-賴蕭)2.68%, 統計上就代表柯侯顯著勝過侯柯. 這個第3點, 黃珊珊陳智菡在民眾黨的發布記者會快結束前, 答媒體問時有提到 從我的統計學專業來看, 民眾黨的理論基礎確實比國民黨好, 不過這未必代表他們贏了. 仍要視每份民調的r值而定. 以下請看詳細解說: -------------------------------------------------- p是支持率, n是樣本數 var(p) = p(1-p)/n, 開根號再乘以1.96就是抽樣誤差 (sqrt(var(p)*1.96)) 如果只是粗略估計, 一般把p用0.5帶入, (0.5*0.5和0.4*0.6也差不多). 當n=1068時, 根號(var(p))*1.96 = 3% 比較兩位候選人支持率p1,p2 如果選用p1-p2這個值來做決策, var(p1-p2) = Var(p1)+Var(p2) - 2*r*根號(var(p1)*var(p2)) r是大家高中都學過的相關係數-1<r<1 如果粗估p1=p2=p, 那麼var(p1)=var(p2) var(p1-p2) = 2*var(p) - 2*r*var(p) (1) -1<r<0 適用於選舉, 一個人投給A就不能投給B, 相關性<0 (1.1) 當r=-1時, 適用情況: 在一對一的選舉中, 一人沒有第三種選項 例如在新加坡, 投票是全民義務, 不能不投票, 可以選擇回答投票給李某p1, 或是選擇回答投給黃某p2. 沒有第三個選擇 也就是p1和p2完全負相關, r=-1 var(p1-p2)=4*var(p), 開根號之後得到誤差是原本的2倍,也就是6% 也就是李某要勝過黃某6%才算超過誤差範圍. (1.2) r約為-0.5 因此如果在台灣, (1.1)的假設就不適用 一個人除了國民黨p1和民進黨p2以外, 還有第三種選擇,那就是投票日當天選擇出去玩, 兩邊都不投票. 所以台灣選舉的r約等於-0.5, 中度負相關. var(p1-p2) = 3*var(p), 開根號之後是原本的1.73倍=1.73*3=5.3% 這也就是不少民調專家,政黨操盤手所說, 一對一選舉要贏5%以上才算是贏! 例如以下這篇報導: 國民黨立委提名／現任者民調贏逾5％ 才徵召 https://news.ltn.com.tw/news/politics/paper/863837 (2) 0<r<1適用於這次柯侯與侯柯的民調, 一個人可能會同時回答支持柯侯與侯柯 (2.1)當r=0, 也就是p1與p2二者獨立的時候, 如果一個回答柯侯的人, 他沒有機會影響侯柯的支持度;反之亦然. 那麼p1,p2的相關性可能就很低, r接近0. 例如聯合報的這份問卷: Q7和Q8不會問同一個人. 【Q7及Q8隨機呈現】 7.如果郭台銘最後不參選，藍白整合是柯文哲當正， 請問在【隨機提示選項1-2】組合中， 您會支持那一組擔任總統副總統？ (1)柯文哲搭配侯友宜[柯侯配] (2)賴清德搭配蕭美琴[賴蕭配] (7)都不支持/支持其他人 (8)未決定、無意見或拒答 8.如果郭台銘最後不參選，藍白整合是侯友宜當正， 請問在【隨機提示選項1-2】組合中， 您會支持那一組擔任總統副總統？ (1)侯友宜搭配柯文哲[侯柯配] (2)賴清德搭配蕭美琴[賴蕭配] (7)都不支持/支持其他人 (8)未決定、無意見或拒答 當r約為0時, var(p1-p2) = 2*var(p), 開根號等於1.414*3% = 4.2% 也就是柯侯要贏過侯柯4.2%才算柯侯贏 有人會問(2.1)和(1.1)有什麼不同? (2.1)的每一個人回答問題都是獨立自主決定的,不受他人影響,(r接近0) 然而(1.1)之中, 投給李某的人類似於同時投了反對票給黃某,因此r=-1 這點滿有趣的, 有興趣的讀者可以自行研究. (2.2) 承(2.1) 0.8<r<1 民調公司也可能設計以下問卷 以下是美麗島十月國政民調的問卷: [Q15與Q16由電腦隨機排序] 15、請問，如果明年大選只有2組參選，1組是 國民黨侯友宜和民眾黨柯文哲合作的「侯柯配」， 另1組是民進黨賴清德和蕭美琴的「賴蕭配」， 您可能會投給哪1組？【關鍵字串由電腦隨機排序】 (1)侯柯配46.1% (2)賴蕭配36.8% (3)不投票/投廢票8.5% (4)未明確回答8.6% 16、請問，如果明年大選只有2組參選，1組是 民眾黨柯文哲和國民黨侯友宜合作的「柯侯配」， 另1組是民進黨賴清德和蕭美琴的「賴蕭配」， 您可能會投給哪1組？【關鍵字串由電腦隨機排序】 (1)柯侯配47.4% (2)賴蕭配35.3% (3)不投票/投廢票7.2% (4)未明確回答10.1% 如果類似於以上的問卷,一個回答柯侯的人有很高的機率同時也回答侯柯 因此p1和p2是高度正相關, r=0.8以上 如果假設r=0.8, var(p1-p2) = 2*var(p) - 2*r*var(p) var(p1-p2) = 0.4*(var(p)), 開根號後是原本的0.65倍, 不但沒增加, 還縮小了 當n=1068時, 這個誤差是3*0.65 = 2%左右, 這個含意是: "如果柯侯和侯柯的正相關性高達0.8, 那麼民調之中柯侯只要領先侯柯2%, 統計上就代表柯侯顯著勝過侯柯" (2.3) 如果r=1, 也就是所有回答柯侯的人同時都回答侯柯, 無一例外. var(p1-p2) = 2*var(p) - 2*r*var(p) = 0 誤差為0的含意是, 只要柯侯高過侯柯1票, 例如40.05%比40%, 那麼柯侯統計上就顯著勝過侯柯 問題是這是不可能發生的, 因為r=1時,所有投給柯侯的人同時都投給侯柯. 因此, 總言之, r越是接近1, 誤差就越接近0 柯侯需要領先侯柯的%數就越低. 但結果仍需視每份民調不同的r值而定. 備註1. 11/17號民眾黨曾經發布一個消息, 在談判當天晚上六點以前要上傳原始資料, 目的很可能就是要對各家民調的相關性r進行檢查. 備註2. 民眾黨記者會快結束時, 陳智菡回答記者時曾說 "變異值很高, 讓3%已經很多"之類的話, 黃珊珊也提到,"變異值是1.3幾, 乘以2絕對小於3%" 記者當然聽不懂. 她們就是在說明本文中(r=0.9)的情況. 把r=0.9帶入2*var(p) - 2*r*var(p), 開根號再乘以1.96 根號(0.2*0.5^2/1086)*1.96 算出來剛好是1.34% 正是黃珊珊口中"1.3幾" 我沒有政治立場, 不過以我的統計學專長, 我認為民眾黨還是懂統計的. 參考資料: 1.Mathematical Statistics, Rice 3rd 11.3 2.林澤民教授文章 https://blog.udn.com/nilnimest/24057891 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 36.224.243.40 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/HatePolitics/M.1700591130.A.382.html